第一届“启航杯”高等数学竞赛

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1.
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2.
当x趋近于0时，下列无穷小中与x等价的是
sin x
1-cos x
x^2
√(1+x)-1
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3.
设函数f(x)在x0处可导，则极限lim_{h→0}[f(x0+2h)-f(x0)]/h等于
f'(x0)
2f'(x0)
-f'(x0)
0
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4.
函数y=x^3-3x的单调递减区间是
(-∞,-1)
(-1,1)
(1,+∞)
(-∞,+∞)
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5.
不定积分∫(1/x)dx等于
ln x+C
ln|x|+C
1/x^2+C
-1/x^2+C
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6.
极限lim_{x→∞}(1+1/x)^x等于
1
e
e^2
+∞
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7.
下列函数在x=0处连续的是【多选题】
sin x
cos x
e^x
1/x
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8.
下列极限等式正确的是【多选题】
lim_{x→0} sin x/x=1
lim_{x→∞}(1+1/x)^x=e
lim_{x→0}(1+x)^{1/x}=e
lim_{x→0} cos x/x=1
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9.
下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的是【多选题】
f(x)=x^2在[0,1]
f(x)=|x|在[-1,1]
f(x)=1/x在[1,2]
f(x)=√x在[0,1]
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10.
下列不定积分公式正确的是【多选题】
∫e^x dx=e^x+C
∫sin x dx=-cos x+C
∫1/(1+x^2) dx=arctan x+C
∫1/x dx=ln x+C
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11.
关于一元函数可导、可微与连续的关系，下列说法正确的是【多选题】
可导必连续
连续必可导
可微必可导
可导必可微
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12.
极限lim_{x→0}(1-cos x)/x^2=________
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13.
设y=x^3+2x，则y'=________
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14.
不定积分∫cos x dx=________
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15.
函数y=ln x的微分dy=________
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16.
极限lim_{x→0}(e^x-1)/x=________
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17.
函数f(x)=x^2在x=1处的导数f'(1)=________
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18.
不定积分∫x dx=________
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19.
曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为________
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20.
函数y=ln(1+x^2)的导数y'=________
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21.
不定积分∫1/(1+x^2) dx=________
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22.
计算极限lim_{x→0}(tan x-sin x)/x^3。
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23.
求函数f(x)=x^3-3x^2+1的单调区间、极值、凹凸区间和拐点。
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24.
计算不定积分∫x e^x dx。
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25.
计算不定积分∫1/(x^2-1) dx。
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26.
证明：当x>0时，x-x^2/2
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27.
计算极限lim_{x→∞}(1+2/x)^{3x}。
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28.
计算不定积分∫sin^2 x dx。
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29.
求曲线y=x^3-3x的凹凸区间及拐点。
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30.
利用拉格朗日中值定理证明：当0
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31.
计算不定积分∫(2x+1)/(x^2+x+1) dx。
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